[2015년 덕이고]

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[2학년(이과) 2학기 기말 확률과 통계]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 서로 독립이고 [eqn: {rmP}(A ^{c} )= {1} over {4}], [eqn: rm P it (A capB)= { 1} over {4 }]일 때, [eqn: {rmP}(B`|`A^c )]의 값은? (단, [eqn: B ^{c}]은 [eqn: B]의 여사건이다.) [3.5점]

①

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {5}]

④ [eqn: {1} over {6}]	⑤ [eqn: {1} over {7}]

어느 인터넷 사이트에서 화원을 대상으로 크리스마스 기념 행운권 추첨 행사를 하고 있다. 행운권이 당첨될 확률이 [eqn: 0.25]일 때, 크리스마스 기념 행운권 추첨 행사에 [eqn: 4]회 참여하여 [eqn: 2]회 당첨될 확률은? [3.5점]

②

① [eqn: {13} over {64}]	② [eqn: {27} over {128}]	③ [eqn: {7} over {32}]

④ [eqn: {29} over {128}]	⑤ [eqn: {15} over {64}]

수열 [eqn: left{a_n right}]이 [eqn: a_1 =a_2]이고, [eqn: a_n+2 =a_n+1 +a_n]([eqn: n=1,```2,```3,```4])를 만족시킬 때, 확률변수 [eqn: X]를 확률분포표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	합계
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: a _{1}]	[eqn: a _{2}]	[eqn: a _{3}]	[eqn: a _{4}]	[eqn: a _{5}]	[eqn: a _{6}]	[eqn: 1]

[eqn: {rmE}(10X)]의 값은? [3.7점]

⑤

① [eqn: 39]	② [eqn: 41]	③ [eqn: 43]

④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 47]

표본공간 [eqn: S]의 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: 0<{rmP}(A)<1], [eqn: 0<{rmP}(B)<1]이고 [eqn: A ^{c]은 [eqn: A]의 여사건이다.) [4.0점]

⑤

ㄱ. [eqn: A][eqn: SUBSET B]이면 [eqn: {rmP}(B`|A)=1]이다.

ㄴ. [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 독립이면

[eqn: {rmP}(A`|B)=1-{rmP}(A^c |B)]이다.

ㄷ. [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 배반사건이면

[eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 종속이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 사람 [eqn: rmA], [eqn: rmB]가 다음 규칙에 따라 게임을 하려고 한다. 주사위를 [eqn: 300]번 던져서 [eqn: rmA]가 얻은 점수에서 [eqn: rmB]가 얻은 점수를 뺀 값을 확률변수 [eqn: X]라고 할 때, [eqn: {rmE}(X)]의 값은? [4.0점]

⑤

주사위를 던져 [eqn: 6]의 약수의 눈이 나오면 [eqn: rmA]가 [eqn: 50]점을 얻고, 그 이외의 눈이 나오면 [eqn: rmB]가 [eqn: 10]점을 얻는다.

① [eqn: 5000]	② [eqn: 6000]	③ [eqn: 7000]

④ [eqn: 8000]	⑤ [eqn: 9000]

다음은 이항분포 [eqn: {rmB}(n,```p)]를 이루는 확률변수 [eqn: X]에 대하여 [eqn: {rmE}(X)]를 구하는 과정이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4.0점]

[eqn: rm E it (X)= sum _{r=0} ^{n} BOX{`````(가)`````} CDOT _{n} rm C it rm _{r} `p ^{r} `q ^{n-r} ```(단,```q=1-p)]

[eqn: =1 _{n} rm C it rm _{1} p ^{1} q ^{n-1} +2 _{n} rm C it rm _{2} p ^{2} `q ^{n-2} + CDOTS +n _{n} rm C it rm _{n} p ^{n}]

에서

[eqn: {} _{n} {rm C} _{k} = BOX{`````(나)`````} cdot _{n-1} {rm C} _{k-1}]이므로

[eqn: rm E it (X)=1 _{n} rm C it rm _{1} p ^{1} q ^{n-1} +2 _{n} rm C it rm _{2} `p ^{2} q ^{n-2} + CDOTS +n _{n} rm C it rm _{n} `p ^{n}]

[eqn: = BOX{`````(다)`````} ( _{n-1} rm C it rm _{0} q ^{n-1} + _{n-1} rm C it rm _{1} p ^{1} q ^{n-2} +# ```````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````` CDOTS + _{n-1} rm C it rm _{n-1} p ^{n-1} )]

[eqn: =np]

③

(가)	(나)	(다)

①   [eqn: r]	[eqn: {n} over {k}]	[eqn: npq]

②   [eqn: r ^{2}]	[eqn: {n} over {k(k-1)}]	[eqn: np]

③   [eqn: r]	[eqn: {n} over {k}]	[eqn: np]

④   [eqn: r ^{2}]             [eqn: {n} over {k}]	[eqn: npq]

⑤   [eqn: r]	[eqn: {n} over {k(k-1)}]	[eqn: np]

어느 수리 논술반에 남학생 [eqn: 3]명, 여학생 [eqn: 2]명으로 구성된 모둠이 [eqn: n]개 있다. 각 모둠에서 임의로 [eqn: 2]명씩 선택할 때, 남학생들만 선택된 모둠의 수를 확률변수 [eqn: X]라고 하자. [eqn: f(a)={rmE}((X-a) ^{2} )]에 대하여 [eqn: f(a)]는 [eqn: a=30]일 때, 최솟값 [eqn: m]을 갖는다. 두 자연수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: m+n]의 값은? (단, 두 모둠 이상에 속한 학생은 없다.) [4.5점]

④

① [eqn: 91]	② [eqn: 101]	③ [eqn: 111]

④ [eqn: 121]	⑤ [eqn: 131]

정규분포 [eqn: {rmN}(m,```sigma^2 )]을 따르는 확률변수 [eqn: X]는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 확률밀도함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x)=f(100-x)]를 만족시킨다.
[eqn: rm P it (m LEQ X LEQ m+10)=0.3413]일 때, [eqn: {rmP}(X GEQ 75)]의 값을 아래의 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [4.0점]

②

[eqn: z]	[eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]
[eqn: 3.0]	[eqn: 0.4987]

① [eqn: 0.0013]	② [eqn: 0.0062]	③ [eqn: 0.0229]

④ [eqn: 0.0668]	⑤ [eqn: 0.1587]

구간 [eqn: [-1,```3]]의 모든 실수 값을 갖는 연속확률변수 [eqn: X]에 대하여 [eqn: {rmP}(x LEQ X LEQ 3)=a(3-x)(-1 LEQ x LEQ 3)]이 성립할 때,
[eqn: rm P it (0 LEQ X LEQ a)= {p} over {q}]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4.4점]

③

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

연속확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수 [eqn: y=f(x)`(-2r LEQ x LEQ 2r)]의 그래프가 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: r]인 사분원들의 호로 이루어져 있을 때, [eqn: {rmP} LEFT ( - {1} over {sqrt {2+ pi }} LEQ X LEQ {1} over {sqrt {2+ pi }} RIGHT )]의 값은? [4.5점]

⑤

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {pi } over {7}]	③ [eqn: {1} over {2+ pi }]

④ [eqn: {4+ pi } over {8+4 pi }]	⑤ [eqn: {4+ pi } over {4+2 pi }]

다음은 어떤 모집단의 확률분포표이다.

[eqn: X]	[eqn: 10]	[eqn: 20]	[eqn: 30]	합계
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: {1} over {3}]	[eqn: a]	[eqn: {2} over {3} -a]	[eqn: 1]

이 모집단에서 크기가 [eqn: 2]인 표본을 복원추출하여 구한 표본평균을 [eqn: bar{X`}]라고 하자. [eqn: bar{X`}]의 평균이 [eqn: {55} over {3}]일 때, [eqn: {rmP}(bar{X`} =20)]의 값은? [4.3점]

①

① [eqn: {13} over {36}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {11} over {36}]

④ [eqn: {5} over {18}]	⑤ [eqn: {1} over {4}]

정규분포 [eqn: {rmN}(m,```3 ^{2})]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균과 모평균의 차가 [eqn: 0.25] 이하일 확률이 [eqn: 0.96]이다. 이 때, [eqn: n]의 값은? (단, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: {rmP}(0LEQ Z LEQ 2)=0.48]이다.) [4.3점]

④

① [eqn: 441]	② [eqn: 484]	③ [eqn: 529]

④ [eqn: 576]	⑤ [eqn: 625]

어느 고등학교 동아리 발표대회에 참여하는 [eqn: 2]학년 학생의 비율이 [eqn: 80%]라고 한다. 이 학교의 전체 학생수가 [eqn: 400]명이라고 할 때, 동아리 발표대회에 차여하는 학생이 [eqn: 300]명 이상일 확률을 아래의 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [4.0점]

②

[eqn: z]	[eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]
[eqn: 3.0]	[eqn: 0.4987]

① [eqn: 0.9987]	② [eqn: 0.9938]	③ [eqn: 0.8413]

④ [eqn: 0.4938]	⑤ [eqn: 0.4772]

지구촌 어린이를 돕기 위해 어느 고등학교에서 만든 아우인형 판매행사에 사용된 아우인형의 무게를 조사하였다. 임의추출한 [eqn: 49]개의 아우인형의 무게의 평균이 [eqn: 9]이고 표준편차가 [eqn: 1]이었다. 이 행사에 사용된 아우인형 무게의 모평균 [eqn: m]의 신뢰도 [eqn: 95%]의 신뢰구간은 [eqn: a LEQ m LEQ b]이다. 이 때, [eqn: b-a]의 값은? (단, 무게의 단위는 [eqn: rmg]이고 [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때,
[eqn: {rmP}(|Z`| le 1.96) =0.95]이다.) [4.3점]

①

① [eqn: 0.56]	② [eqn: 0.54]	③ [eqn: 0.52]

④ [eqn: 0.50]	⑤ [eqn: 0.48]

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: rmN(50,```10 ^{2} )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 25]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: bar{X`}], 확률변수 [eqn: Y]가 정규분포 [eqn: rm N(60,```sigma ^{2} )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 16]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: bar{Y`}]라 할 때, 아래의 표준정규분포표를 이용하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.5점]

[eqn: z]	[eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]

③

ㄱ. [eqn: {rmP}(X<50)+{rmP}(Y>60)=1]

ㄴ. [eqn: rm P it ( bar{X`} <54)= rm P it ( bar{Y`} >58 )]이면 [eqn: sigma =8]이다.

ㄷ. [eqn: rm P it ( bar{X`} <54)= rm P it ( bar{Y`} >58 )]이면

[eqn: {rmP}( bar{Y`} >62)=0.0228]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

어느 연극 극단에서 크리스마스 공연을 준비하고 있다. 지금까지의 경험에 의하면 초대받은 사람 중 실제 참석자의 비율은 [eqn: 50%]라고 한다. 초대받은 사람 중에서 [eqn: 100]명을 임의추출하였을 때, 참석자의 비율이 [eqn: 43%] 이상이고 [eqn: 57%] 이하일 확률을 아래의 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [4.0점]

④

[eqn: z]	[eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 0.8]	[eqn: 0.2881]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.2]	[eqn: 0.3849]
[eqn: 1.4]	[eqn: 0.4192]
[eqn: 1.6]	[eqn: 0.4452]

① [eqn: 0.5762]	② [eqn: 0.6286]	③ [eqn: 0.8064]

④ [eqn: 0.8384]	⑤ [eqn: 0.8904]

어느 지역의 전체 고등학생 중 수학 영역에서 가형을 선택하는 학생의 비율을 알아보기 위해 이 지역의 고등학생 [eqn: n]명을 임의추출하여 조사한 결과 [eqn: 20%]가 수학 영역에서 가형을 선택한다고 답하였다. 이 결과를 이용하여 구한 이 지역의 전체 고등학생 중 수학 영역에서 가형을 선택하는 학생의 비율에 대한 신뢰도 [eqn: 99%]의 신뢰구간이 [eqn: [0.1355, ```0.2645]]이다. [eqn: n]의 값은? (단, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: {rmP}( LEFT | Z` RIGHT | LEQ 2.58)=0.99]이다.) [4.5점]

③

① [eqn: 196]	② [eqn: 225]	③ [eqn: 256]

④ [eqn: 289]	⑤ [eqn: 324]

서술형

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 서로 독립일 때, 두 사건 [eqn: A^c], [eqn: B]도 서로 독립임을 증명하시오. (단, [eqn: 0<{rmP}(A)<1], [eqn: 0<{rmP}(B)<1]이다.) [7.0점]

독립이면 [eqn: {rmP}(A){rmP}(B)={rmP}(A SMALLINTER B)]이므로

[eqn: rm P it (A ^{c} SMALLINTER B)= rm P it (B)- rm P it (A SMALLINTER B)# ```````````````````````````````````````= rm P it (B)- rm P it (A) rm P it (B)# ```````````````````````````````````````= rm P it (B)(1- rm P it (A))# ```````````````````````````````````````= rm P it (B) rm P it (A ^{c} )]

아래 그림과 같이 8등분하여 각 영역에 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 4]를 하나씩 써넣은 원판에 화살을 [eqn: n]번 쏘아서 맞힌 영역의 숫자의 평균을 [eqn: bar{X`}]라고 하자. 확률변수 [eqn: bar{X`}]의 분산이 [eqn: {1} over {16}]일 때, [eqn: n]의 값을 구하시오. (단, 화살은 반드시 원판에 맞고, 경계에는 맞지 않는다.) [8.0점]

[eqn: 23]

<조건>

1. 확률변수 [eqn: X]의 확률분포표를 작성할 것

2. 풀이과정 안에 [eqn: {rmE}(X)], [eqn: {rmV}(X)]를 포함할 것

주사위를 [eqn: n]번 던져 [eqn: 3]의 배수의 눈이 나오는 횟수를 [eqn: X]라 하자. 충분히 큰 [eqn: n]에 대하여 [eqn: {rmP} LEFT ( LEFT | X- {n} over {3} RIGHT | ` LEQ 7 RIGHT ) ` GEQ 0.954]를 만족하는 [eqn: n]의 최댓값을 구하시오. (단, [eqn: {rmP}(0LEQ Z LEQ 2)=0.477]이다.) [7.0점]

[eqn: 55]

어느 대학교의 [eqn: 2014]학년도와 [eqn: 2015]학년도의 입학시험에 합격한 사람들의 점수는 정규분포를 따르고, 각 학년도의 평균, 표준편차는 표와 같다.

구분	평균(점)	표준편차(점)
[eqn: 2014]학년도	[eqn: 78]	[eqn: 8]
[eqn: 2015]학년도	[eqn: 80]	[eqn: 10]

[eqn: 2014]학년도 시험에서 [eqn: 90]점 이상의 점수를 얻은 합격자에게 장학금이 주어졌다. [eqn: 2015]학년도 시험에서 장학금을 받은 합격자의 비율이 [eqn: 2014]학년도와 같다고 할 때, [eqn: 2015]학년도에 장학금을 받은 합격자의 최저점수를 구하시오. (단, [eqn: 2014]학년도 입학시험에 합격한 사람의 점수를 확률변수 [eqn: X], [eqn: 2015]학년도 입학시험에 합격한 사람의 점수를 확률변수 [eqn: Y]로 정의한다.) [8.0점]

[eqn: 95]

[2015년 덕이고]

[2학년(이과) 2학기 기말 확률과 통계]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com